Определите чётность каждой функции — чётная, нечётная или ни та ни другая: f(x) = 4x³ − 3x² + 5, f(x) = −7x² + 1, y = cos(−x), y = sin x / cos x, y = csc x и y = tan x / x.

Step-by-step solution

1. 1

   Фиксируем критерий. Функция $f$ чётная, если $f(-x)=f(x)$, и нечётная, если $f(-x)=-f(x)$. Для многочленов есть быстрый признак: только чётные степени — функция чётная, только нечётные — нечётная, смесь — ни та ни другая. (Постоянное слагаемое считается за $x^0$, то есть чётную степень.)

2. 2

   Разбираем два многочлена. В $4x^{3}-3x^{2}+5$ есть нечётная степень $x^3$ и чётные степени $x^2$ и $x^0$, значит это ни та ни другая. В $-7x^{2}+1$ все степени чётные, поэтому функция чётная.

3. 3

   Упрощаем cos(-x) до проверки. Косинус чётен, поэтому $\cos(-x)=\cos x$ — перед нами замаскированный косинус, и он чётный. Прямая проверка: замена $x$ на $-x$ даёт $\cos(x)$, то есть исходное выражение.

4. 4

   Разбираем sin x / cos x. Это $\tan x$. Так как $\sin(-x)=-\sin x$, а $\cos(-x)=\cos x$:

   $\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x,$

   значит функция нечётная.

5. 5

   Разбираем csc x. Поскольку $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$, а синус нечётен,

   $\csc(-x)=\frac{1}{-\sin x}=-\csc x,$

   то есть функция нечётная. Величина, обратная нечётной функции, тоже нечётна.

6. 6

   Разбираем tan x / x. Тангенс нечётен и $x$ нечётен, а частное двух нечётных функций чётно:

   $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{-\tan x}{-x}=\frac{\tan x}{x},$

   значит функция чётная. Итоговая сортировка — чётные: $-7x^2+1$, $\cos(-x)$, $\tfrac{\tan x}{x}$; нечётные: $\tfrac{\sin x}{\cos x}$, $\csc x$; ни те ни другие: $4x^3-3x^2+5$.