Упростить sin(2x + π/2) + 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какую формулу использовать. При сдвиге на четверть периода синус преобразуется в косинус:

   $\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$

   Это следует из формулы суммы аргументов: $\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\sin\theta\cdot0+\cos\theta\cdot1=\cos\theta$.

2. 2

   Сопоставим выражение с формулой. В данном случае весь внутренний аргумент — это $2x+\tfrac{\pi}{2}$, значит, $\theta=2x$ — именно $2x$, а не просто $x$. Подставляя:

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)$

   Частая ошибка — записывать $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$ или $2\cos x$ вместо правильного ответа.

3. 3

   Оставим постоянное слагаемое без изменений. Число $+5$ стоит вне тригонометрической функции, поэтому никакая формула его не затрагивает:

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+5=\cos(2x)+5$

4. 4

   Определим свойства упрощённого выражения. В виде $\cos(2x)+5$ функция имеет амплитуду $1$, период $\tfrac{2\pi}{2}=\pi$, среднюю линию $y=5$ и область значений $[4,6]$. Всё это становится очевидно только после упрощения — в этом и заключается его смысл.

5. 5

   Заметим, что сдвиг по фазе исчез. В исходном выражении горизонтальный сдвиг составлял $-\tfrac{\pi}{4}$ по $x$ (так как $2x+\tfrac{\pi}{2}=2\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$); после преобразования к косинусу фазовый сдвиг становится равным нулю.

6. 6

   Проверим численно. При сравнении $\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{2}\right)+5$ и $\cos(2x)+5$ на $40$ случайных значениях $x$ из $[-9,9]$ получаем совпадение с машинной точностью ✓.