Решите уравнение sin 2x = √3/2 на промежутке от 0 до 2π.

Step-by-step solution

1. 1

   Следим, что промежуток делает с двойным углом. Если $x$ пробегает $[0, 2\pi]$, то $2x$ пробегает $[0, 4\pi]$ — два полных оборота. Именно поэтому у этого уравнения вдвое больше решений, чем было бы у $\sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}$, и забывчивость здесь — стандартный способ потерять половину ответов.

2. 2

   Решаем уравнение относительно двойного угла в общем виде. Уравнение $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ имеет опорный угол $\tfrac{\pi}{3}$, а решения лежат в первой и второй четвертях:

   $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{или} \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

3. 3

   Делим пополам и получаем общее решение для x. Деление каждого слагаемого на $2$ превращает период $2\pi$ в $\pi$:

   $x = \frac{\pi}{6} + \pi k \qquad \text{или} \qquad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

   Уменьшенный вдвое период $\pi$ — это и есть алгебраическая причина того, что две серии дают четыре решения на промежутке длиной $2\pi$.

4. 4

   Отбираем значения, попадающие в [0, 2π]. Из первой серии: при $k=0$ получаем $\tfrac{\pi}{6}$, при $k=1$ — $\tfrac{7\pi}{6}$, а при $k=2$ — $\tfrac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 2\pi \approx 6.283$, что уже вне промежутка. Из второй: при $k=0$ получаем $\tfrac{\pi}{3}$, при $k=1$ — $\tfrac{4\pi}{3}$, а при $k=2$ — $\tfrac{7\pi}{3}$, тоже вне. Отрицательные $k$ дают отрицательные углы.

5. 5

   Выписываем и проверяем все четыре решения.

   $x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}$

   Удвоение каждого даёт $2x = \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3}$, и $\sin$ каждого из них равен $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.8660254$ с точностью до пятнадцати знаков. Заметим, что пары $\left(\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}\right)$ и $\left(\tfrac{7\pi}{6}, \tfrac{4\pi}{3}\right)$ симметричны относительно $\tfrac{\pi}{4}$ и $\tfrac{5\pi}{4}$ — вершин графика $\sin 2x$.