Вычислите cos 225°, укажите точное значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим четверть, в которой находится угол. $180^\circ<225^\circ<270^\circ$, значит, конечная сторона угла лежит в третьей четверти, где обе координаты на единичной окружности отрицательны. Косинус соответствует $x$-координате, поэтому результат будет отрицательным.

2. 2

   Найдём опорный угол. В третьей четверти опорный угол равен разности между данным углом и $180^\circ$:

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

3. 3

   Используем формулу для третьей четверти. В общем случае $\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta$:

   $\cos 225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\cos 45^\circ$

4. 4

   Подставим значение для специального угла.

   $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

5. 5

   Проверим численно и по правилу знака. $-\tfrac{\sqrt2}{2}\approx-0.7071068$, а при прямом вычислении $\cos 225^\circ$ также получается $-0.7071068$ $\checkmark$. Отрицательный знак соответствует ожиданию для третьей четверти, а $225^\circ$ в радианах — это $\tfrac{5\pi}{4}$, точка $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ на единичной окружности.