Решите относительно x: √(x² + 76.1² + 100²) = x / cos 20°.

Step-by-step solution

1. 1

   До возведения в квадрат выясняем область допустимых значений. Слева стоит квадратный корень, поэтому левая часть неотрицательна; справа — $x/\cos 20^\circ$, причём $\cos 20^\circ>0$. Значит, любое решение обязано удовлетворять условию $x\ge 0$, и отрицательный корень, если он появится, придётся отбросить как посторонний.

2. 2

   Возводим обе части в квадрат и собираем числа. Возведение в квадрат здесь законно, так как обе части неотрицательны:

   $x^2+76.1^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;76.1^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   Числовая часть равна $K=76.1^2+10000=15791.21$.

3. 3

   Упрощаем скобку по основному тригонометрическому тождеству. Так как $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$:

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   и уравнение превращается в $x^2\tan^2 20^\circ=15791.21$. Именно узнавание этого тождества превращает громоздкое тригонометрическое уравнение в решение в одну строку.

4. 4

   Выражаем $x$, оставляя только положительный корень.

   $x=\frac{\sqrt{15791.21}}{\tan 20^\circ}=\frac{125.6631}{0.3639702}\approx 345.26$

   Отрицательный корень $-x$ удовлетворяет возведённому в квадрат уравнению, но не исходному: правая часть стала бы отрицательной, тогда как левая остаётся положительной.

5. 5

   Проверяем подстановкой. При $x\approx 345.26$ левая часть равна $\sqrt{x^2+15791.21}$, а правая — $x/\cos 20^\circ$; оба выражения дают одно и то же число с точностью до семи значащих цифр, что подтверждает корень и исключает посторонний.