Упростите выражение sin A / ctg A − cosec A · sin A.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём все обратные функции в синусы и косинусы. Когда в одном выражении соседствуют $\cot$ и $\csc$, единственный надёжный первый шаг — выразить обе через $\sin$ и $\cos$: $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A},\qquad \csc A=\frac{1}{\sin A}.$ После этого всё записано на одном языке, и возможные сокращения становятся видны.

2. 2

   Упростим первое слагаемое. Деление на дробь — это умножение на обратную ей: $\frac{\sin A}{\cot A}=\frac{\sin A}{\dfrac{\cos A}{\sin A}}=\sin A\cdot\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}.$ То же самое можно записать как $\sin A\tan A$ — эту форму полезно уметь узнавать.

3. 3

   Упростим второе слагаемое. $\csc A\,\sin A=\frac{1}{\sin A}\cdot\sin A=1,$ и это верно всюду, где $\sin A\neq 0$. Обратная функция, умноженная на саму функцию, всегда даёт $1$ — в этом и состоит весь смысл обратного тождества.

4. 4

   Соединим оба результата. $\frac{\sin A}{\cot A}-\csc A\,\sin A=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}-1=\frac{\sin^{2}A-\cos A}{\cos A},$ то есть в компактной записи выражение равно $\sin A\tan A-1$. Основное тригонометрическое тождество дальше ничем не помогает: в числителе $\sin^{2}A$ соседствует с первой степенью $\cos A$.

5. 5

   Укажем область определения и проверим значение. Нужно, чтобы $\sin A\neq 0$ (иначе не существуют $\cot$ и $\csc$) и $\cos A\neq 0$ (иначе не определено частное), поэтому $A$ не должен быть кратен $\tfrac{\pi}{2}$. Проверим при $A=\tfrac{\pi}{3}$: исходное выражение даёт $\dfrac{\sin 60^\circ}{\cot 60^\circ}-\csc 60^\circ\sin 60^\circ=\dfrac{0.8660254}{0.5773503}-1=1.5-1=0.5$, а упрощённая форма — $\dfrac{0.75}{0.5}-1=1.5-1=0.5$.