Решить уравнение 4 · cos(x) · cos(x) − 3 = 0 и записать общее решение.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбираемся в записи. Знак между двумя косинусами — это умножение, а не переменная, поэтому выражение равно $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$ и уравнение принимает вид

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   Запись повторяющегося множителя в виде квадрата — как раз тот шаг, который превращает уравнение в обычное квадратное относительно $\cos x$.

2. 2

   Выражаем $\cos^{2}x$. Прибавляем $3$ и делим на $4$:

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   Значение $\tfrac34$ лежит в $[0,1]$, поэтому действительные решения существуют. Если бы правая часть превышала $1$, решений не было бы вовсе.

3. 3

   Извлекаем корень, сохраняя оба знака. Из $\cos^{2}x=\tfrac34$ следует

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   Опорный угол для значения $\tfrac{\sqrt3}{2}$ равен $\tfrac{\pi}{6}$ ($30^{\circ}$). Отбросить отрицательную ветвь — значит потерять половину решений; это очень частая ошибка.

4. 4

   Выписываем базовые углы на одном полном обороте. Для $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ и $x=\tfrac{11\pi}{6}$. Для $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$: $x=\tfrac{5\pi}{6}$ и $x=\tfrac{7\pi}{6}$. Итого четыре решения на периоде $2\pi$, симметричных относительно обеих осей.

5. 5

   Объединяем их в два компактных семейства. Все четыре угла — это $\pm\tfrac{\pi}{6}$ и $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$, поэтому общее решение записывается так:

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   Проверка: $4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓, и то же самое при $\tfrac{5\pi}{6}$ и $\tfrac{7\pi}{6}$ ✓. Период равен $\pi$, а не $2\pi$, потому что $\cos^{2}$ не меняется при увеличении $x$ на $\pi$.