Упростить √(1 + tan²(α) · sin²(β)).

Step-by-step solution

1. 1

   Не стоит сразу применять тождество $1+\tan^2=\sec^2$. Оно работает только если тангенс стоит отдельно, а здесь он умножается на $\sin^2\beta$, поэтому $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ — это вовсе не $\sec^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ и нечто подобное. Надёжнее перейти к синусам и косинусам и объединить всё в одну дробь.

2. 2

   Запишем тангенс через синус и косинус: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Тогда

   $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1+\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

3. 3

   Приведём всё к общему знаменателю $\cos^{2}\alpha$:

   $=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   Одна дробь позволит корректно вынести корень на следующем этапе.

4. 4

   Возьмём корень, не забывая про модуль. Так как $\sqrt{\cos^{2}\alpha}=\left|\cos\alpha\right|$ (а не просто $\cos\alpha$, который может быть отрицательным), получаем:

   $\sqrt{1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta}=\frac{\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

5. 5

   Упростим числитель с помощью основного тригонометрического тождества. Подставим $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$ и вынесем общий множитель:

   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1-\sin^{2}\alpha\left(1-\sin^{2}\beta\right)=1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta$

   Таким образом, получаем более симметричный вид:

   $\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

6. 6

   Проверим на числах. При $\alpha=0.9,\ \beta=2.1$ исходное выражение даёт $1.477588$, и оба упрощённых варианта дают $1.477588$ ✓. Во втором виде также видно, что числитель лежит между $\left|\cos\alpha\right|$ и $1$, значит всё выражение всегда не меньше $1$.