Найдите все действительные числа, удовлетворяющие уравнению sin x = √3/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдите опорный угол. Опорный угол — это острый угол, синус которого имеет тот же модуль:

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{опорный угол}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   Определите подходящие четверти. Значение $\tfrac{\sqrt3}{2}$ положительно, а $\sin x>0$ в первой и второй четвертях. Значит, за один период $[0,2\pi)$ решений ровно два — у уравнения с синусом и значением строго между $-1$ и $1$ их всегда два.

3. 3

   Выпишите два основных решения. Первая четверть даёт сам опорный угол, вторая — $\pi$ минус он:

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   Добавьте период. Период синуса равен $2\pi$, поэтому все решения получаются прибавлением целых кратных $2\pi$:

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ или }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   Проверьте обе серии и запомните компактную запись. $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ и $\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓. Две серии можно записать и одной формулой $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$, задающей то же множество. А вот прибавление $\pi n$ вместо $2\pi n$ к одному лишь $\tfrac{\pi}{3}$ ошибочно включило бы $x=\tfrac{4\pi}{3}$, где $\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.