Найдите точное значение arccos(-√3 / 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним диапазон значений арккосинуса — это ключ к задаче. $\arccos x$ возвращает единственный угол $\theta$, для которого

   $\cos\theta=x\qquad\text{и}\qquad 0\le\theta\le\pi$

   В отличие от $\arcsin$, диапазон которого $[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}]$, $\arccos$ никогда не даёт отрицательных углов. Поэтому $-\tfrac{\pi}{6}$ не может быть ответом, хотя $\cos(-\tfrac{\pi}{6})=+\tfrac{\sqrt3}{2}$.

2. 2

   Определим опорный угол по модулю значения. Если не учитывать знак, $\tfrac{\sqrt3}{2}$ — это табличное значение:

   $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ \text{опорный угол}=\frac{\pi}{6}\ (30^{\circ})$

3. 3

   Расположим угол в нужной четверти. Косинус отрицателен на интервале $(\tfrac{\pi}{2};\pi)$ — это вторая четверть, и только здесь в диапазоне арккосинуса может быть отрицательное значение. Угол второй четверти с опорным $\tfrac{\pi}{6}$:

   $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

4. 4

   Проверим, что угол попадает в нужный диапазон. $\tfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$ действительно удовлетворяет $0\le\tfrac{5\pi}{6}\le\pi$ — значит, это и есть главное значение.

5. 5

   Проверим результат обратной подстановкой.

   $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

   Численно $\cos(2.617994)=-0.8660254$, а $-\tfrac{\sqrt3}{2}=-0.8660254$ — всё верно.