Решите тригонометрическое уравнение sin x − 2 cos 2x = 1 и запишите общее решение.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём всё к одной тригонометрической функции. В уравнении смешаны углы $x$ и $2x$, а в таком виде оно не решается. Из трёх видов формулы косинуса двойного угла берём тот, который записан только через синус, — ведь второе слагаемое как раз $\sin x$:

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

2. 2

   Подставим и приведём подобные.

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   Теперь это обычное квадратное уравнение относительно одной величины.

3. 3

   Решим квадратное уравнение. Положим $t=\sin x$, тогда $4t^{2}+t-3=0$. Дискриминант $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$ — точный квадрат, поэтому

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   Оба значения принадлежат отрезку $[-1,1]$, так что отбрасывать ничего не нужно. Эту проверку делать обязательно: корень вне $[-1,1]$ был бы посторонним.

4. 4

   Решим $\sin x=\tfrac34$. Такое значение не соответствует табличному углу, поэтому ответ остаётся через $\arcsin$. Синус принимает значение $\tfrac34$ один раз в первой четверти и один раз во второй:

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   а компактная запись $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ объединяет обе серии в одну строку. Численно $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ рад $\approx 48.59^{\circ}$.

5. 5

   Решим $\sin x=-1$. Здесь синус достигает своего минимума, а это происходит ровно в одной точке за период, поэтому серия только одна:

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{то же самое, что }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

6. 6

   Проверим обе серии в исходном уравнении. При $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$: $\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$. При $x=-\tfrac{\pi}{2}$: $-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$. Обе серии подходят, значит множество решений — объединение двух серий.