Вычислить arccos(0,75), ответ дать в градусах и радианах.

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, что требуется найти. $\cos^{-1}(0.75)$ — это такой угол $\theta$, для которого $\cos\theta=0.75$ и $0\le\theta\le\pi$ — это главная область определения для обратного косинуса, которая, в отличие от арксинуса, лежит в пределах от $0$ до $180^{\circ}$, а не от $-90^{\circ}$ до $90^{\circ}$.

2. 2

   Проверим входное значение и прикинем ответ. Область определения $\cos^{-1}$ — $[-1,1]$, и $0{,}75$ в неё входит. Известно, что $\cos 0^{\circ}=1$, а $\cos 60^{\circ}=0.5$, значит, $0{,}75$ находится между этими значениями, и ответ должен лежать между $0^{\circ}$ и $60^{\circ}$ — ближе к $45^{\circ}$, так как $\cos 45^{\circ}\approx 0.707$. Эта оценка помогает заметить ошибку режима калькулятора.

3. 3

   Заметим, что $0{,}75$ — не табличное значение. В отличие от $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$ или $\tfrac{\sqrt3}{2}$, значение $0{,}75$ не связано ни с одним стандартным треугольником, поэтому точной аналитической формулы нет, и действительно требуется калькулятор.

4. 4

   Вычислим в градусах.

   $\cos^{-1}(0.75)=41.4096^{\circ}\approx 41.41^{\circ}$

   Это значение действительно между $0^{\circ}$ и $60^{\circ}$ и чуть меньше $45^{\circ}$, как и ожидалось.

5. 5

   Переведём в радианы. Умножим на $\dfrac{\pi}{180}$:

   $41.4096\times\frac{\pi}{180}=0.7227\ \text{рад}$

   Для проверки: $0.7227$ чуть меньше $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$, что соответствует углу чуть меньше $45^{\circ}$. Проверим обратно: $\cos(0.7227)=0.75000$ ✓.