Сектор окружности радиуса 5 миль имеет площадь 3 квадратные мили. Найдите центральный угол, округлив до тысячных.

Step-by-step solution

1. 1

   Выразим угол из формулы площади сектора. Из $A=\tfrac12 r^{2}\theta$ получаем:

   $\theta=\frac{2A}{r^{2}}$

   Радиус здесь возводится в квадрат — если подставить $r$ вместо $r^{2}$, получится ошибка в пять раз, что важно для данной задачи.

2. 2

   Подставим значения.

   $\theta=\frac{2(3)}{5^{2}}=\frac{6}{25}$

3. 3

   Переведём в десятичную дробь.

   $\theta=0.24=0.240\ \text{радиан}$

   $\boxed{\theta=\dfrac{6}{25}=0.240\ \text{рад}}$

4. 4

   Отметим, что ответ безразмерный. Угол в радианах — это отношение двух длин, поэтому мили сокращаются: $\text{ми}^2/\text{ми}^2$. Поэтому у числа $0{,}240$ нет отдельной размерности, кроме слова «радиан».

5. 5

   Проверим, восстановив площадь, и переведём в градусы. $A=\tfrac12(25)(0.24)=12.5\times 0.24=3$ квадратные мили — верно. В градусах: $0.24\times\tfrac{180}{\pi}=13.75^{\circ}$ — узкий сектор, что согласуется с тем, что площадь сектора составляет лишь $3$ из $\pi(25)=78.5$ квадратных миль полной окружности.