Решить неравенство 2cos(x) + √3 ≥ 0 при x ∈ [−π, π].

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим косинус. Вычтем $\sqrt3$ из обеих частей и поделим на положительное число $2$ — знак неравенства не изменится:

   $\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.$

   Число $-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx-0{,}866$ лежит внутри отрезка $[-1,1]$, значит, множество решений — непустой подотрезок, а не всё множество и не пустое множество.

2. 2

   Найдём граничные углы. Уравнение $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ имеет основной угол $\tfrac{\pi}{6}$, а косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах. Поэтому на отрезке $[-\pi,\pi]$ решения:

   $x=\frac{5\pi}{6}\quad\text{и}\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$

   Косинус — чётная функция, поэтому граничные углы на симметричном интервале всегда имеют вид $\pm$.

3. 3

   Определим, какую часть интервала оставить. На $[-\pi,\pi]$ косинус максимален в центре ($\cos0=1$) и минимален на концах ($\cos(\pm\pi)=-1$). Значит, неравенство $\cos x\ge-\tfrac{\sqrt3}{2}$ выполняется между найденными граничными углами, а не вне их:

   $-\frac{5\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}.$

4. 4

   Проверим включение концов отрезка. Неравенство нестрогое, а при $x=\pm\tfrac{5\pi}{6}$ выражение равно $2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3=0$, что удовлетворяет $\ge0$. Значит, оба граничных значения входят в решение, и отрезок замкнут.

5. 5

   Проверим значения по обе стороны границы. При $x=2{,}6180\approx\tfrac{5\pi}{6}$: $2\cos x+\sqrt3=0$ — точка включена. При $x=2{,}7$ (чуть правее): $2\cos(2{,}7)+\sqrt3=2(-0{,}9040721)+1{,}7320508=-0{,}0760935<0$ — точка не входит, и симметрично для $x=-2{,}7$. В центре $x=0$: $2+\sqrt3=3{,}73>0$ — условие выполняется.