Найдите значение sin 20° с точностью до четырёх знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, является ли угол особым. В школьном курсе точные значения синуса известны для $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ и их отражений. $20^\circ$ не входит в этот список, поэтому радикальной формулы для него не существует — действительно требуется калькулятор, а не пропущенный приём.

2. 2

   Оценим значение до вычисления. На промежутке $[0^\circ,90^\circ]$ синус возрастает, причём $\sin0^\circ=0$, а $\sin30^\circ=0.5$. Так как $0^\circ<20^\circ<30^\circ$, значение лежит строго между $0$ и $0{,}5$, причём ближе к $0{,}5$, поскольку $20$ — две трети пути до $30$.

3. 3

   Уточним оценку с помощью разложения в ряд для малых углов. В радианах $20^\circ=\tfrac{\pi}{9}=0.349066$, а для малых $\theta$ верно $\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^3}{6}=0.349066-0.007090=0.341976$. Значит, ожидается примерно $0{,}342$.

4. 4

   Вычислим с точностью до четырёх знаков. Переведя калькулятор в режим градусов, получаем:

   $\sin20^\circ=0.3420201\ldots\approx0.3420$

   Это совпадает с оценкой по ряду до четвёртого знака ✓ и попадает в предсказанный промежуток $(0,0.5)$ ✓.

5. 5

   Проверим себя на типичную ошибку режима. В радианном режиме те же кнопки дадут $\sin(20\ \text{рад})=0.9129$ — совершенно другое число. Оценка из шага 2 сразу выявляет такую ошибку, поэтому предварительная прикидка всегда оправдана.

6. 6

   Объясним, почему нет радикальной формы. $20^\circ$ — это треть от $60^\circ$, а трисекция конструктивного угла в общем случае невозможна с помощью квадратных корней: $\sin20^\circ$ — корень уравнения $8t^3-6t+\sqrt3=0$ (из $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ при $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, домножено на $-2$), а по формуле $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ и $\cos60^\circ=\tfrac12$ для $\cos20^\circ$ получается кубическое $8t^3-6t-1=0$ — оно имеет рациональные коэффициенты и неприводимо над рациональными, что и исключает возможность выражения через квадратные корни. Проверка: $\cos20^\circ=0.9396926$ даёт $8(0.9396926)^3-6(0.9396926)-1=0.000000$ ✓, а $\sin20^\circ=0.3420201$ даёт $8(0.3420201)^3-6(0.3420201)+\sqrt3=0.000000$ ✓.