Найдите опорный угол для каждого из углов: 210 градусов, 135 градусов, 5π/3 и 5π/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся, что такое опорный угол. Опорный (приведённый) угол угла $\theta$ — это острый угол между конечной стороной угла $\theta$ и осью $x$, но никогда не осью $y$. Он всегда лежит в промежутке $(0^\circ,90^\circ)$, то есть $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ в радианах. Именно он позволяет взять значение $\sin\theta$, $\cos\theta$ или $\tan\theta$ из первой четверти, а затем приписать нужный знак.

2. 2

   Запомним по одному правилу на каждую четверть. Для угла $\theta$ от $0$ до полного оборота:

   Четверть	Градусы	Радианы
   I	$\theta$	$\theta$
   II	$180^\circ-\theta$	$\pi-\theta$
   III	$\theta-180^\circ$	$\theta-\pi$
   IV	$360^\circ-\theta$	$2\pi-\theta$

   Каждая строка — это просто отсчёт до той половины оси $x$, которая ближе. Если $\theta$ отрицателен или больше полного оборота, сначала прибавьте или вычтите $360^\circ$ ($2\pi$).

3. 3

   а. $210^\circ$. Так как $180^\circ<210^\circ<270^\circ$, угол лежит в III четверти, значит вычитаем $180^\circ$:

   $210^\circ-180^\circ=30^\circ$

4. 4

   б. $135^\circ$. Так как $90^\circ<135^\circ<180^\circ$, угол лежит во II четверти, значит вычитаем его из $180^\circ$:

   $180^\circ-135^\circ=45^\circ$

5. 5

   в. $\dfrac{5\pi}{3}$. Приведём границы к общему знаменателю: $\pi=\tfrac{3\pi}{3}$, $\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3}$ и $2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$. Поскольку $\tfrac{5\pi}{3}$ лежит между $\tfrac{4.5\pi}{3}$ и $\tfrac{6\pi}{3}$, угол попадает в IV четверть:

   $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

6. 6

   г. $\dfrac{5\pi}{4}$. Так как $\pi=\tfrac{4\pi}{4}$, а $\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4}$, угол $\tfrac{5\pi}{4}$ попадает в III четверть:

   $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

7. 7

   Проверим все ответы по значениям синуса. Опорный угол обязан воспроизводить модуль тригонометрических отношений: $\sin 210^\circ=-\tfrac12$ и $\sin 30^\circ=\tfrac12$; $\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ и $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$; $\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ и $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$; $\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ и $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$. Всюду различается только знак — ровно так и должно быть. Обратите внимание: $210^\circ$ и $\tfrac{5\pi}{4}$ оба лежат в III четверти, но опорные углы у них разные — четверть задаёт правило, а не сам ответ.