Решите уравнение cos t = −tg(x) · tg(x) относительно x и укажите, когда решение существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Свернём повторяющийся множитель. В правой части стоит произведение величины на саму себя:

   $\tan(x)\tan(x)=\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad \cos t=-\tan^2(x)$

2. 2

   По области значений $\tan^2$ выясним, когда решение вообще возможно. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому $\tan^2(x)\ge 0$, а значит $-\tan^2(x)\le 0$. Левая часть обязана этому соответствовать, откуда условие разрешимости

   $\cos t\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

   Если же $\cos t>0$, то действительного $x$ не существует вовсе — проверка этого условия в самом начале избавляет от решения заведомо неразрешимого уравнения.

3. 3

   Выразим квадрат.

   $\tan^2(x)=-\cos t$

   При выполненном выше условии правая часть $\ge 0$, поэтому извлечение корня законно.

4. 4

   Извлечём корень с обоими знаками.

   $\tan(x)=\pm\sqrt{-\cos t}$

   Сохранить оба знака принципиально: отбросив отрицательную ветвь, мы потеряем половину семейства решений.

5. 5

   Обратим тангенс с учётом его периода. Период тангенса равен $\pi$ (а не $2\pi$), а $\arctan$ — нечётная функция, поэтому обе ветви объединяются в одну формулу:

   $x=\pm\arctan\left(\sqrt{-\cos t}\right)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

6. 6

   Проверим на двух характерных значениях $t$. Если $\cos t=0$ (например, при $t=\tfrac{\pi}{2}$), формула даёт $x=k\pi$, и действительно $-\tan^2(0)=0=\cos\tfrac{\pi}{2}$ ✓. Если $t=\pi$, то $\cos t=-1$, откуда $\tan^2 x=1$ и $x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\pi$; подстановка даёт $-\tan^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1=\cos\pi$ ✓.