Упростите выражение sin(9x)/ctg(12x).

Step-by-step solution

1. 1

   Заменяем котангенс его определением. Формула отношения такова:

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},$

   поэтому при $\theta=12x$ выражение принимает вид

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}.$

   Переход к синусу и косинусу — почти всегда верный первый шаг, когда обратная тригонометрическая функция стоит в неудобном месте.

2. 2

   Делим на дробь, умножая на обратную ей. Многоэтажная дробь $\dfrac{A}{B/C}$ равна $A\cdot\dfrac{C}{B}$:

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

   Классическая ошибка — написать $\sin(9x)\cdot\frac{\cos(12x)}{\sin(12x)}$: деление на $\cot$ равносильно умножению на $\tan$, а не на $\cot$.

3. 3

   Узнаём тангенс. Так как $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$, получаем

   $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\tan(12x).$

   Равносильно ответ можно оставить в виде $\dfrac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}$; обе записи верны, но вариант с $\tan$ компактнее.

4. 4

   Указываем ограничения области определения. В исходном выражении $\cot(12x)$ должен быть определён и отличен от нуля, поэтому $\sin(12x)\ne0$ и $\cos(12x)\ne0$, то есть $12x\ne\frac{k\pi}{2}$. Упрощённой форме $\sin(9x)\tan(12x)$ достаточно условия $\cos(12x)\ne0$, так что она определена чуть шире исходной — но там, где обе имеют смысл, они совпадают.

5. 5

   Проверяем численно. При $x=0.1$: $\sin(0.9)=0.783327$ и $\cot(1.2)=0.3887796$, поэтому исходное частное равно $\frac{0.783327}{0.3887796}=2.014836$; а $\sin(0.9)\tan(1.2)=0.783327\times2.572152=2.014836$ ✓. Совпадение в точке, далёкой от полюсов обеих функций, подтверждает выкладки.