Решите уравнение 10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos(a) + 9.13 × 9.8 × sin(a) относительно угла a.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем повторяющуюся постоянную. В обоих слагаемых есть общий множитель $9.13\cdot9.8 = 89.474$, поэтому, разделив на него всё уравнение, получаем $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ Это стандартный вид $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ с $a=0.01$, $b=1$.

2. 2

   Введём вспомогательный угол. Запишем $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m = R\sin(\alpha_m+\varphi)$, где $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ Именно слияние двух гармоник в одну и делает уравнение разрешимым в замкнутом виде.

3. 3

   Сведём всё к одному уравнению с синусом. $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   Возьмём обе ветви арксинуса. На промежутке $[0^\circ,360^\circ)$ уравнение с синусом имеет два решения: $\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{или}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ Здесь важно сохранять достаточно знаков: и вспомогательный угол, и этот арксинус входят в разность, поэтому ошибка в любом из них сразу перекочует в $\alpha_m$.

5. 5

   Вычтем вспомогательный угол. $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{или}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ В радианах это $0.110454$ и $3.011139$.

6. 6

   Проверим оба корня в исходном уравнении. При $\alpha_m = 6.32857^\circ$: $0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$. При $\alpha_m = 172.52555^\circ$: $0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$. Оба корня проходят проверку точно; первый — тот самый малый угол, который обычно и требуется по смыслу задачи.