Известно, что cos²x = 6 sin⁴x. Найдите sin 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём всё к одной величине. В обеих частях стоят только чётные степени, поэтому основное тригонометрическое тождество позволяет работать с единственным неизвестным. Положим

   $u=\sin^{2}x,\qquad\text{тогда}\qquad\cos^{2}x=1-u,\qquad \sin^{4}x=u^{2}.$

   Выбор $u=\sin^{2}x$, а не $\sin x$, полностью снимает вопрос о знаках — ничто в условии не отличает $x$ от $-x$.

2. 2

   Составим и решим квадратное уравнение. Подставляя в $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$, получаем

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0,$

   откуда $u=\tfrac13$ или $u=-\tfrac12$.

3. 3

   Отбросим невозможный корень. Так как $u=\sin^{2}x$ — квадрат, то $u\ge0$, и значение $u=-\tfrac12$ отпадает. Кроме того, $u=\sin^{2}x\le1$, и $\tfrac13$ этому условию тоже удовлетворяет. Значит,

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \cos^{2}x=1-\frac13=\frac23.$

   Проверим исходное условие: $6\sin^{4}x=6\cdot\tfrac19=\tfrac23=\cos^{2}x$ ✓.

4. 4

   Применим формулу двойного угла в возведённом в квадрат виде. Из $\sin 2x=2\sin x\cos x$ возведение в квадрат избавляет от необходимости знать знаки $\sin x$ и $\cos x$ по отдельности:

   $\sin^{2}2x=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89.$

5. 5

   Извлечём корень, сохранив оба знака. Итак,

   $\sin 2x=\pm\sqrt{\frac89}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   Оба знака действительно достигаются: условие ограничивает только $\sin^{2}x$, поэтому $x$ может лежать в любой четверти, а $\sin 2x$ положителен в первой и третьей четвертях и отрицателен во второй и четвёртой. Без дополнительных сведений о четверти в ответе обязан стоять знак $\pm$.