Упростите с помощью тождеств: sin²θ + tan²θ + cos²θ.

Step-by-step solution

1. 1

   Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить пифагорову пару. Сложение — операция перестановочная, поэтому выражение можно записать так:

   $\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\tan^{2}\theta$

   Замечание пары $\sin^{2}+\cos^{2}$ позволяет упростить выражение всего за пару шагов.

2. 2

   Применим основное тригонометрическое тождество:

   $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

   Тогда исходное выражение принимает вид $1+\tan^{2}\theta$.

3. 3

   Воспользуемся вторым пифагоровым тождеством. Разделим $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ на $\cos^{2}\theta$:

   $\tan^{2}\theta+1=\sec^{2}\theta$

4. 4

   Запишем окончательный ответ:

   $\boxed{\sec^{2}\theta}$

   Это верно при $\cos\theta \neq 0$, то есть когда определены $\tan\theta$ и $\sec\theta$.

5. 5

   Проверим результат на удобных значениях угла. При $\theta=60^{\circ}$: $\sin^{2}=0.75$, $\tan^{2}=3$, $\cos^{2}=0.25$, сумма равна $4$; $\sec^{2}60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{0.5}\right)^{2}=4$ ✓. При $\theta=45^{\circ}$: $0.5+1+0.5=2$, $\sec^{2}45^{\circ}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2$ ✓.