Дано 6 sin⁴x + sin²x − 6 = 0, найти значение 2 sin x cos x.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем тригонометрическое уравнение к квадратному. Поскольку встречаются только чётные степени $\sin x$, подставим $u=\sin^{2}x$; тогда $\sin^{4}x=u^{2}$, и получаем

   $6u^{2}+u-6=0$

   Следует заметить, что выражение $2\sin x\cos x=\sin 2x$ также можно возвести в квадрат и выразить через $u$, поэтому находить конкретное значение $x$ не потребуется.

2. 2

   Решим квадратное уравнение и отбросим невозможный корень.

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{1+144}}{12}=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   Так как $u=\sin^{2}x$ должно удовлетворять $0\le u\le 1$, отрицательный корень $\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx-1{,}09$ не подходит. Остаётся

   $\sin^{2}x=\frac{\sqrt{145}-1}{12}\approx 0{,}92013$

   что лежит в допустимом промежутке $[0,1]$ ✓.

3. 3

   Находим $\cos^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству.

   $\cos^{2}x=1-\frac{\sqrt{145}-1}{12}=\frac{13-\sqrt{145}}{12}\approx 0{,}07987$

4. 4

   Возводим целевое выражение в квадрат вместо непосредственного вычисления. Это позволяет не учитывать знаки $\sin x$ и $\cos x$ по отдельности:

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac{\sqrt{145}-1}{12}\cdot\frac{13-\sqrt{145}}{12}=\frac{\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)}{36}$

5. 5

   Раскрываем произведение иррациональных выражений.

   $\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)=13\sqrt{145}-145-13+\sqrt{145}=14\sqrt{145}-158$

   Следовательно,

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=\frac{14\sqrt{145}-158}{36}=\frac{7\sqrt{145}-79}{18}\approx 0{,}29395$

6. 6

   Извлекаем корень и оставляем оба знака.

   $2\sin x\cos x=\sin 2x=\pm\sqrt{\frac{7\sqrt{145}-79}{18}}\approx\pm 0{,}5422$

   Оба знака возможны: исходное уравнение ограничивает только $\sin^{2}x$, поэтому $x$ может находиться в любой четверти, где $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые или противоположные знаки. Проверка: $\sin^{2}x=0{,}920133$ даёт $6(0{,}846645)+0{,}920133-6=0{,}000000$ ✓.