Чему равен период функции y = 3 csc x?

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним, что такое период функции. Период — это наименьшее положительное число $p$, при котором $f(x+p) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, то есть горизонтальная длина одного полного цикла перед повторением графика.

2. 2

   Используем определение через обратную функцию. $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$. Если $\sin(x + p) = \sin x$ для всех $x$, то, взяв обратные значения, получаем $\csc(x+p) = \csc x$ там, где обе функции определены. Значит, косеканс повторяется тогда же, когда и синус, и его период совпадает с периодом синуса: $2\pi$.

3. 3

   Проверим, нельзя ли взять меньший период. Может ли период быть равен $\pi$? Подставим $x = \tfrac{\pi}{2}$: $\csc\tfrac{\pi}{2} = 1$, а $\csc\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr) = \csc\tfrac{3\pi}{2} = -1$. Так как $1 \neq -1$, $\pi$ не является периодом. Аналогичная проверка исключает $\tfrac{\pi}{2}$, значит, $2\pi$ действительно минимальный период.

4. 4

   Поймём, почему коэффициент 3 не влияет на период. Умножение на $3$ растягивает график по вертикали, поэтому $3\csc(x+2\pi) = 3\csc x$ выполняется при тех же сдвигах. Только коэффициент при $x$ — как в $\csc(bx)$, где период $2\pi/|b|$ — изменяет период. Здесь $b = 1$, значит,

   $\text{период} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$

5. 5

   Запишем ответ. Период функции $y = 3\csc x$ равен $2\pi$. Для проверки: у $\csc$ вертикальные асимптоты там, где $\sin x = 0$, то есть при $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ — через $\pi$, но узор ветвей вверх и вниз повторяется только через $2\pi$.