Вычислите cos 240° точно.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим четверть и знак значения. $240^\circ$ находится между $180^\circ$ и $270^\circ$, то есть в третьей четверти. В этой четверти обе координаты $x$ и $y$ на единичной окружности отрицательны, а косинус соответствует $x$-координате. Следовательно, $\cos240^\circ$ должен быть отрицательным. Сначала определяют знак по четверти, чтобы избежать типичной ошибки при вычислении модуля.

2. 2

   Находим вспомогательный угол. Отсчитываем от ближайшей горизонтальной оси, $180^\circ$:

   $240^\circ-180^\circ=60^\circ$

   Значит, вспомогательный угол — $60^\circ$, и по модулю $\cos240^\circ$ равен $\cos60^\circ$.

3. 3

   Применяем формулу для третьей четверти. Для угла вида $180^\circ+\theta$ справедливо:

   $\cos\!\left(180^\circ+\theta\right)=-\cos\theta$

   При $\theta=60^\circ$ получаем:

   $\cos240^\circ=-\cos60^\circ$

4. 4

   Подставляем точное значение для специального угла. Из треугольника $30$–$60$–$90$ известно, что $\cos60^\circ=\tfrac12$, значит:

   $\cos240^\circ=-\frac{1}{2}$

5. 5

   Проверяем и убеждаемся. В числовом виде $\cos240^\circ=-0.5$ с точностью до $10^{-15}$ ✓. Проверка по тождеству Пифагора: $\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$, и $\left(-\tfrac12\right)^{2}+\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}=\tfrac14+\tfrac34=1$ ✓. Заметим, что $240^\circ$ соответствует $\tfrac{4\pi}{3}$ радиан, точка на окружности — $\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$.