Вычислите arctan(1/2) в радианах и градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем, что требуется найти. $\arctan\left(\tfrac12\right)$ — это единственный угол $\theta$, для которого

   $\tan\theta=\frac{1}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

   Именно этот основной промежуток делает ответ однозначным — ведь существует бесконечно много углов с тангенсом $\tfrac12$, отличающихся на целое число $\pi$.

2. 2

   Оценим, в каких пределах лежит ответ. Известно, что $\tan 0=0$ и $\tan\tfrac{\pi}{4}=1$, а тангенс возрастает, значит, угол должен удовлетворять $0<\theta<\tfrac{\pi}{4}=45^\circ$. Он положителен, так как $\tfrac12>0$.

3. 3

   Отметим, что среди стандартных углов такого значения нет. Тангенс $\tfrac12$ не встречается ни в одном из стандартных треугольников на $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, поэтому ответ будет иррациональным и его придётся округлять:

   $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0.4636476\ \text{рад}$

4. 4

   Переведём результат в градусы. Для этого умножим на $\tfrac{180}{\pi}$:

   $0.4636476\times\frac{180}{\pi}\approx 26.5651^\circ$

5. 5

   Проверим вычисление обратным действием. $\tan(0.4636476)=0.5000000$ $\checkmark$, и значение действительно попадает в ожидаемый диапазон $0<26.565^\circ<45^\circ$ $\checkmark$. Геометрически это острый угол прямоугольного треугольника с катетами $1$ и $2$, гипотенуза — $\sqrt5$.