Решить уравнение tg(θ) = 1 при всех действительных θ.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим опорный угол прямо из определения. Так как $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, равенство тангенса единице означает $\sin\theta=\cos\theta$. В прямоугольном треугольнике это значит, что противолежащий и прилежащий катеты равны, — то есть перед нами треугольник $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$. Итак,

   $\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

   является решением, и это точно подтверждается равенством $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$.

2. 2

   Ищем второе решение внутри полного оборота. Тангенс положителен и в третьей четверти, где синус и косинус оба отрицательны и по-прежнему равны: при $\theta=\tfrac{5\pi}{4}$ имеем $\sin=\cos=-\tfrac{\sqrt2}{2}$, поэтому снова $\tan=1$.

3. 3

   Замечаем, что период равен π, а не 2π. Расстояние между этими двумя решениями ровно $\pi$. Причина в том, что одновременная смена знака у синуса и косинуса не меняет их отношения: $\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$. Значит, тангенс повторяется через полуоборот — в отличие от синуса и косинуса, которым нужен $2\pi$.

4. 4

   Записываем общее решение одной серией. Раз период равен $\pi$, обе базовые точки покрываются сразу:

   $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   При $k=0$ получаем $\tfrac{\pi}{4}$, при $k=1$ — $\tfrac{5\pi}{4}$. Вторая серия здесь не нужна, и это существенное отличие от уравнений $\sin x=c$ или $\cos x=c$, где серий всегда две.

5. 5

   Приводим запись в градусах.

   $\theta=45^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   то есть $45^\circ,\ 225^\circ,\ 405^\circ,\ -135^\circ,\ \ldots$

6. 6

   Проверяем при нескольких k. Вычисление $\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\right)$ при $k=-3,\,0,\,1,\,5$ каждый раз даёт $1.000000$ ✓, и ни один из этих углов не попадает на нечётное кратное $\tfrac{\pi}{2}$, где тангенс не определён ✓.