Вычислите cos(sin(3)), аргумент в радианах.

Step-by-step solution

1. 1

   Действуем изнутри наружу. Здесь рассматривается именно композиция, а не произведение: $\cos(\sin 3)$ означает, что сначала находится $\sin 3$, а затем полученное значение подставляется в $\cos$. Это не $\cos3\times\sin3$.

2. 2

   Сначала определим единицы измерения угла. Так как нет значка градусов, $3$ — это именно $3$ радиана. Поскольку $\pi\approx3.14159$, угол $3$ радиана чуть меньше половины оборота — это примерно $171{,}9^\circ$, то есть во второй четверти, где синус мал и положителен.

3. 3

   Вычислим внутреннюю функцию.

   $\sin3=0.1411200$

   Значение мало, потому что $3$ близко к $\pi$, где синус обращается в ноль; действительно, $\sin3\approx\sin(\pi-3)=\sin(0.14159)\approx0.1412$ — проверка верна.

4. 4

   Вычислим внешнюю функцию для полученного значения. Заметим, что $\sin3$ теперь сам по себе угол в радианах и лежит в промежутке $[-1,1]$, как и любой синус:

   $\cos(0.1411200)=0.9900590$

   Для малых $\theta$ выполняется приближение $\cos\theta\approx1-\tfrac{\theta^2}{2}=1-\tfrac{0.14112^2}{2}=1-0.00996=0.99004$ — совпадает до четвёртого знака ✓.

5. 5

   Запишем ответ.

   $\cos(\sin3)\approx0.99006$

6. 6

   Оценим диапазон всей композиции. Так как $\sin3$ всегда лежит в $[-1,1]$, внешний косинус вычисляется на этом же промежутке, где его минимальное значение — $\cos1=0.5403$. Значит, $\cos(\sin x)$ всегда принадлежит $[0.5403,1]$ для любого действительного $x$ — отрицательных значений быть не может. Если получен отрицательный ответ, значит, была допущена ошибка в режиме или скобках.