Найдите все действительные числа, удовлетворяющие уравнению sin x = −sqrt(2)/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдите опорный угол по модулю значения. На минуту забудьте о знаке: $\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ при $\theta = \tfrac{\pi}{4}$ (угол в $45^{\circ}$ из равнобедренного прямоугольного треугольника). Значит, опорный угол равен $\tfrac{\pi}{4}$.

2. 2

   По знаку определите четверти. Синус — это координата $y$ на единичной окружности, поэтому $\sin x < 0$ помещает $x$ в третью или четвёртую четверть. За один оборот таких углов ровно два, и оба обязаны попасть в ответ.

3. 3

   Выпишите два основных угла. В третьей четверти угол равен $\pi + \tfrac{\pi}{4}$, в четвёртой — $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$:

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{и} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   Добавьте период. Период синуса равен $2\pi$, поэтому к каждому основному углу прибавляем $2\pi n$:

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ или } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

5. 5

   Проверьте обе серии. $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ и $\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓. Наборы-ловушки, построенные на $\tfrac{4\pi}{3}$ и $\tfrac{5\pi}{3}$, не подходят: там $\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$, а не $-0.7071$. Набор на основе $\tfrac{3\pi}{4}$ тоже неверен, потому что этот угол лежит во второй четверти, где синус положителен.