Вычислите tan(7°) с точностью до четырёх знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём угол в радианы. Для этого умножим на $\tfrac{\pi}{180}$:

   $7^\circ=0.1221730\ \text{рад}$

2. 2

   Используем поведение тангенса при малых углах. Для малых $x$ в радианах выполняется $\tan x\approx x$, поэтому ожидаемое значение должно быть чуть больше $0{,}1222$. Исправление даёт кубический член:

   $\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$

3. 3

   Подставим в разложение. При $x=0.1221730$ имеем $x^3=0.00182357$, значит

   $\tan x\approx 0.1221730+0.0006079=0.1227809$

   Это уже даёт точность до пяти знаков, так как следующий член порядка $x^5\approx 3\times 10^{-5}$ умножается на $\tfrac{2}{15}$.

4. 4

   Проверим по определению через синус и косинус. По формуле $\tan\theta=\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, а при $\sin 7^\circ\approx 0.1218693$, $\cos 7^\circ\approx 0.9925462$ получаем:

   $\frac{0.1218693}{0.9925462}\approx 0.1227846$

5. 5

   Округлим и сверим ответ. До четырёх знаков после запятой

   $\tan(7^\circ)\approx 0.1228$

   Прямой подсчёт даёт $0.12278456$ $\checkmark$. Заметим, что значение больше $\sin 7^\circ$, как и должно быть, ведь деление на $\cos 7^\circ<1$ увеличивает результат.