Выразить arctg(1/x) через arctg(x) отдельно для положительных и для отрицательных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Отметим область определения. Выражение $\tfrac1x$ требует $x\neq 0$, поэтому тождество будет состоять из двух ветвей, а в точке $x=0$ сказать нечего.

2. 2

   Выведем положительную ветвь из дополнительных углов. При $x>0$ положим $\theta=\arctan x$, тогда $0<\theta<\tfrac{\pi}{2}$. В прямоугольном треугольнике с катетами $1$ и $x$ два острых угла дополняют друг друга до прямого, а если поменять местами, какой катет считать «противолежащим», то $x$ заменяется на $\tfrac1x$:

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x>0$

3. 3

   Поймём, почему отрицательной ветви нужна другая константа. При $x<0$ и $\arctan x$, и $\arctan\tfrac1x$ лежат в $\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)$, поэтому их сумма отрицательна и не может равняться $+\tfrac{\pi}{2}$. Верная константа — отрицательная:

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x<0$

4. 4

   Разберёмся со скачком. Функция $\arctan x+\arctan\tfrac1x$ постоянна по каждую сторону от нуля, но при переходе через него скачком меняется на $\pi$: она равна $\tfrac{\pi}{2}$ при $x>0$ и $-\tfrac{\pi}{2}$ при $x<0$. Скачок возникает потому, что главная область значений арктангенса имеет ширину всего $\pi$.

5. 5

   Проверим по одному значению на каждой ветви. При $x=2$: $\arctan\tfrac12\approx 0.46365$ и $\tfrac{\pi}{2}-\arctan 2\approx 1.57080-1.10715=0.46365$ $\checkmark$. При $x=-2$: $\arctan\left(-\tfrac12\right)\approx-0.46365$ и $-\tfrac{\pi}{2}-\arctan(-2)\approx-1.57080+1.10715=-0.46365$ $\checkmark$.