Решите уравнение √(x² + 125,4² + 100²) = x / cos(20 градусов) относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   До возведения в квадрат отмечаем область допустимых значений. Слева стоит квадратный корень, то есть неотрицательная величина; справа — $x/\cos 20^\circ$, причём $\cos 20^\circ>0$. Значит, любое решение обязано удовлетворять $x\ge 0$, и отрицательный корень, если он появится дальше, придётся отбросить как посторонний.

2. 2

   Возводим обе части в квадрат и собираем константу. Возведение в квадрат здесь законно, поскольку обе части неотрицательны:

   $x^2+125.4^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;125.4^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   Константа равна $K=125.4^2+10000=25725.16$.

3. 3

   Упрощаем скобку основным тригонометрическим тождеством. Так как $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$:

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   и уравнение принимает вид $x^2\tan^2 20^\circ=25725.16$. Именно узнавание этого тождества превращает громоздкое тригонометрическое уравнение в решение в одну строку.

4. 4

   Находим $x$, оставляя только положительный корень.

   $x=\frac{\sqrt{25725.16}}{\tan 20^\circ}=\frac{160.3907}{0.3639702}\approx 440.67$

   Отрицательный корень $-x$ удовлетворяет возведённому в квадрат уравнению, но не исходному: правая часть стала бы отрицательной, тогда как левая остаётся положительной.

5. 5

   Проверяем подстановкой. При $x\approx 440.67$ слева получаем $\sqrt{440.67^2+25725.16}$, справа — $440.67/\cos 20^\circ$; обе части совпадают с точностью до семи значащих цифр, что подтверждает корень.

   $\sqrt{x^2+25725.16}=\frac{x}{\cos 20^\circ}\;\checkmark$