Найдите точное значение arcsin(0.395) или объясните, почему его нет, и укажите десятичное значение в радианах и градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Что именно требуется найти. Нужен единственный угол $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$, для которого $\sin\theta = 0.395 = \tfrac{79}{200}$. Так как $0 < 0.395 < 1$, угол лежит в первой четверти.

2. 2

   Убеждаемся, что замкнутой формы нет. Рациональное значение синуса даёт угол в замкнутой форме лишь для нескольких величин $0,\ \pm\tfrac12,\ \pm 1$ среди рациональных (теорема Нивена), а также для квадратичных иррациональностей $\pm\tfrac{\sqrt2}{2}, \pm\tfrac{\sqrt3}{2}$. Поскольку $\tfrac{79}{200}$ рационально, но не равно $0, \pm\tfrac12$ или $\pm1$, угол не является рациональным кратным $\pi$ и не выражается элементарно. Точным ответом служит сам $\arcsin(0.395)$.

3. 3

   Получаем значение в радианах из ряда. При $u = 0.395$ в разложении $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ получаем: $0.395 + 0.010272 + 0.000721 + 0.000067 + 0.000007 = 0.406067$, и сумма сходится к

   $\arcsin(0.395) \approx 0.4060679\ \text{рад}$

4. 4

   Переводим в градусы.

   $0.4060679 \times \frac{180}{\pi} \approx 23.2660^{\circ}$

5. 5

   Проверяем ответ и сравниваем с соседним значением. $\sin(23.2660^{\circ}) = 0.395000$. Сравним с $\arcsin(0.375) \approx 22.0243^{\circ}$: увеличение синуса на $0.02$ сдвинуло угол примерно на $1.24^{\circ}$, что согласуется с $\tfrac{d\theta}{d(\sin\theta)} = \tfrac{1}{\cos\theta} \approx 1.088$ радиана на единицу, то есть $\approx 62^{\circ}$ на единицу синуса.