Вычислить arccos(1/√3), записав результат в радианах и в градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем обозначение как уравнение. Запись $\arccos(1/\sqrt3)$ означает поиск единственного угла $\theta$ из главного промежутка $[0,\pi]$, для которого

   $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   Именно ограничение на промежуток делает ответ одним числом, а не бесконечным семейством углов.

2. 2

   Сначала сверимся с табличными углами. Косинусы, которые полагается узнавать сразу, таковы:

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.8660,\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.7071,\quad \cos60^\circ=\frac12$

   Наше значение $1/\sqrt3\approx0.57735$ не совпадает ни с одним из них, поэтому точного ответа в виде доли $\pi$ не получится.

3. 3

   Оценим угол вилкой. Так как $0.5<0.57735<0.7071$, а косинус на $[0,\pi]$ убывает, угол обязан удовлетворять условию

   $45^\circ<\theta<60^\circ$

   Эта вилка — дешёвая проверка того, что выдаст калькулятор.

4. 4

   Вычислим численно. С точностью до четырёх знаков после запятой

   $\theta=\arccos(0.577350\ldots)=0.9553\text{ рад}$

   Переводим в градусы умножением на $180^\circ/\pi$:

   $\theta=0.9553166\times\frac{180}{\pi}=54.7356^\circ$

   и результат действительно попадает в вилку от $45^\circ$ до $60^\circ$.

5. 5

   Заметим, откуда берётся этот угол. $54.7356^\circ$ — это угол между пространственной диагональю куба и его ребром, а связанный с ним через дополнение угол $109.47^\circ$ — тетраэдрический валентный угол, так что именно этот арккосинус постоянно встречается в кристаллографии и химии.

6. 6

   Запишем ответ в обоих видах.

   $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx0.9553\text{ рад}\approx54.74^\circ$