График функции y = sin(2x + π/6) сдвинули на π/12 влево. Запишите уравнение полученного графика.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем правило горизонтального сдвига. Перенос графика на $h$ единиц влево означает замену $x$ на $x+h$ во всём выражении; при сдвиге вправо использовалась бы замена $x-h$. Направление кажется противоположным интуиции как раз потому, что при сдвиге влево функция должна принимать каждое своё значение при меньшем $x$.

2. 2

   Выполняем замену $x\to x+\dfrac{\pi}{12}$. При $h=\tfrac{\pi}{12}$:

   $y=\sin\!\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right).$

   Замена происходит внутри всего аргумента, поэтому коэффициент $2$ умножается и на величину сдвига — именно здесь ответ перестаёт быть очевидным.

3. 3

   Раскрываем аргумент. Умножая на $2$:

   $2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2x+\frac{2\pi}{12}=2x+\frac{\pi}{6},$

   и аргумент принимает вид

   $2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2x+\frac{\pi}{3}.$

   Значит, сдвиг на $\tfrac{\pi}{12}$ меняет фазу на $\tfrac{\pi}{6}$ — вдвое больше самого сдвига, потому что круговая частота равна $2$.

4. 4

   Записываем новое уравнение.

   $y=\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$

   Амплитуда ($1$) и период ($\tfrac{2\pi}{2}=\pi$) не изменились; сместилась только фаза — как и должно быть при чистом параллельном переносе.

5. 5

   Проверяем в двух точках. При $x=0.3$: сдвинутая исходная функция даёт $\sin\!\left(2(0.3+\tfrac{\pi}{12})+\tfrac{\pi}{6}\right)=0.9970828$, а ответ даёт $\sin\!\left(0.6+\tfrac{\pi}{3}\right)=0.9970828$ ✓. При $x=1.1$ обе дают $-0.1054087$ ✓. Полезная проверка направления: записав исходную функцию как $\sin\!\left(2\left(x+\tfrac{\pi}{12}\right)\right)$, видим, что она сама сдвинута влево на $\tfrac{\pi}{12}$, а значит новый график сдвинут влево на $\tfrac{\pi}{6}$ относительно $\sin 2x$.