Решите уравнение arcsin(x) + arcsin(2x) = π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала найдём область допустимых значений. Оба арксинуса должны быть определены, поэтому $-1\le x\le1$ и $-1\le2x\le1$. Второе условие строже и даёт

   $-\tfrac12\le x\le\tfrac12.$

   Любой кандидат вне этого промежутка недопустим, что бы ни выдала алгебра.

2. 2

   Выделим один арксинус и возьмём синус от обеих частей. Перенесём слагаемое и применим $\sin$:

   $\arcsin(2x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\;\Longrightarrow\;2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\cos(\arcsin x).$

   Именно формула приведения $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$ делает правую часть обозримой.

3. 3

   Переведём $\cos(\arcsin x)$ на алгебраический язык. Положим $\theta=\arcsin x$, тогда $\sin\theta=x$ и $\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ — а на этом промежутке $\cos\theta\ge0$. Значит, берётся именно положительный корень:

   $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}},$

   и уравнение принимает вид $2x=\sqrt{1-x^{2}}$.

4. 4

   Выпишем условие знака до возведения в квадрат. Квадратный корень неотрицателен, поэтому $2x\ge0$, то есть $x\ge0$. Зафиксировав это сейчас, мы не дадим постороннему корню пережить возведение в квадрат. Возводим:

   $4x^{2}=1-x^{2}\;\Longrightarrow\;5x^{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt5}.$

5. 5

   Отберём корень и проверим его. Условие $x\ge0$ отбрасывает отрицательное значение, остаётся

   $x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0.4472,$

   и оно лежит внутри области $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ ✓. Проверим напрямую: $\arcsin(0.4472)=0.46365$ и $\arcsin(0.8944)=1.10715$, а $0.46365+1.10715=1.57080=\tfrac{\pi}{2}$ ✓. Отброшенный корень $x=-\tfrac{1}{\sqrt5}$ даёт вместо этого $-\tfrac{\pi}{2}$.