При каких значениях a функция y = sin(x + π/4 + a) является нечётной?

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем условие нечётности. Функция нечётна, если $f(-x)=-f(x)$ при всех $x$. Соберём постоянные в одну фазу $c=\tfrac{\pi}{4}+a$: тогда $f(x)=\sin(x+c)$, и вопрос сводится к тому, при каких $c$ функция $\sin(x+c)$ нечётна.

2. 2

   Выясняем, какие фазы сохраняют нечётность синуса. Сам по себе $\sin x$ нечётен, и добавление кратного $\pi$ это свойство сохраняет:

   $\sin(x+k\pi)=(-1)^{k}\sin x,$

   то есть получается $\pm\sin x$ — по-прежнему нечётная функция. Любая другая фаза подмешивает косинус, ведь $\sin(x+c)=\sin x\cos c+\cos x\sin c$, а слагаемое $\cos x\sin c$ чётное и разрушает симметрию, если только $\sin c=0$.

3. 3

   Убеждаемся, что условие ещё и необходимо. Подставим $x=0$: нечётная функция обязана удовлетворять равенству $f(0)=-f(0)$, откуда $f(0)=0$. Здесь $f(0)=\sin c$, значит $\sin c=0$ и, следовательно,

   $c=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   Одного значения $x=0$ хватает, чтобы полностью зафиксировать условие, а шаг 2 показывает, что оно и достаточно.

4. 4

   Выражаем $a$. Из $c=\tfrac{\pi}{4}+a=k\pi$ получаем

   $a=k\pi-\frac{\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   Наименьшее положительное значение отвечает $k=1$ и равно $a=\tfrac{3\pi}{4}$; при $k=0$ выходит $a=-\tfrac{\pi}{4}$, что возвращает функцию к обычному $\sin x$.

5. 5

   Проверяем численно. При $a=\tfrac{3\pi}{4}$ функция равна $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Проверка нечётности в точке $x=0.7$: $f(0.7)+f(-0.7)=2\times10^{-16}\approx0$ ✓. Для сравнения, при $a=0$ получаем $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$, где $f(0)=\tfrac{\sqrt2}{2}\ne0$, так что эта функция не является ни нечётной, ни чётной.