Докажите тождество 1/cot²A + 1/(1 + tan²A) = 1/(1 − sin²A) − 1/csc²A.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор стратегии: приводим обе части к выражениям через синусы и косинусы. Ни одна из сторон не выглядит проще, поэтому вместо преобразования одной в другую, упростим каждую часть отдельно и покажем, что результаты совпадают. Все элементы — это либо обратные, либо основные тригонометрические тождества.

2. 2

   Упрощение левой части. Так как $\cot A=1/\tan A$, первый слагаемый:

   $\frac{1}{\cot^{2}A}=\tan^{2}A.$

   Для второго по основному тригонометрическому тождеству $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$ получаем:

   $\frac{1}{1+\tan^{2}A}=\frac{1}{\sec^{2}A}=\cos^{2}A.$

   Значит, левая часть равна $\tan^{2}A+\cos^{2}A$.

3. 3

   Упрощение правой части. Из $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ имеем $1-\sin^{2}A=\cos^{2}A$, значит:

   $\frac{1}{1-\sin^{2}A}=\frac{1}{\cos^{2}A}=\sec^{2}A,$

   а поскольку $\csc A=1/\sin A$,

   $\frac{1}{\csc^{2}A}=\sin^{2}A.$

   Таким образом, правая часть — это $\sec^{2}A-\sin^{2}A$.

4. 4

   Сопоставление выражений. Применим $\sec^{2}A=1+\tan^{2}A$ к правой части:

   $\sec^{2}A-\sin^{2}A=1+\tan^{2}A-\sin^{2}A=\tan^{2}A+\bigl(1-\sin^{2}A\bigr)=\tan^{2}A+\cos^{2}A.$

   Это полностью совпадает с левой частью, значит, тождество верно.

5. 5

   Область допустимых значений и проверка на примере. Тождество определено при существовании $\cot A$, $\tan A$ и $\csc A$, а также $\cot A\ne0$, то есть $A$ не кратен $\pi/2$. При $A=\pi/3$: левая часть — $\tan^{2}=3$ плюс $\cos^{2}=1/4$, получаем $3{,}25$; правая часть — $\sec^{2}=4$ минус $\sin^{2}=3/4$, также $3{,}25$ ✓.