У кругового сектора центральный угол 50° и радиус 9 см. Найдите длину дуги s и площадь сектора A, округлив до тысячных.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала переводим угол в радианы. Формулы $s=r\theta$ и $A=\tfrac12 r^2\theta$ работают только при $\theta$ в радианах, так как они основаны на том, что сектор — это доля $\theta/(2\pi)$ от полного круга. Умножим на $\pi/180$:

   $\theta=50^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\ \text{рад}$

   Если бы использовали градусы напрямую, оба ответа были бы завышены примерно в $57$ раз.

2. 2

   Запишем обе формулы сектора. Для центрального угла $\theta$ в радианах:

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Они выражают долю $\theta/(2\pi)$ от полной длины окружности $2\pi r$ и полной площади круга $\pi r^2$ соответственно.

3. 3

   Вычислим длину дуги.

   $s=r\theta=9\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{5\pi}{2}\approx 7{,}854\ \text{см}$

4. 4

   Вычислим площадь сектора. Сначала возводим радиус в квадрат, затем делим пополам:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(9)^2\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{81}{2}\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{45\pi}{4}\approx 35{,}343\ \text{см}^2$

5. 5

   Запишем оба ответа с округлением.

   $\boxed{s\approx 7{,}854\ \text{см},\qquad A\approx 35{,}343\ \text{см}^2}$

6. 6

   Проверим по формуле A = ½rs. Если выразить $\theta$, получаем $A=\tfrac12 rs$, и $\tfrac12(9)\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{45\pi}{4}$ — это точно та же площадь, что и ранее.