Решить относительно x: √(x² + 26.8² + 100²) = x / cos 20°.

Step-by-step solution

1. 1

   Отмечаем область допустимых значений до возведения в квадрат. Слева стоит квадратный корень, то есть неотрицательная величина, а справа — $x/\cos 20^\circ$, причём $\cos 20^\circ>0$. Значит, любое решение обязано удовлетворять условию $x\ge 0$, и отрицательный корень, если он появится, придётся отбросить как посторонний.

2. 2

   Возводим обе части в квадрат и собираем постоянную. Возведение в квадрат законно, поскольку обе части неотрицательны:

   $x^2+26.8^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;26.8^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   Постоянная равна $K=26.8^2+10000=10718.24$.

3. 3

   Упрощаем скобку по основному тригонометрическому тождеству. Так как $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$:

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   и уравнение превращается в $x^2\tan^2 20^\circ=10718.24$. Именно узнавание этого тождества превращает громоздкое тригонометрическое уравнение в решение в одну строку.

4. 4

   Находим $x$, оставляя только положительный корень.

   $x=\frac{\sqrt{10718.24}}{\tan 20^\circ}=\frac{103.5289}{0.3639702}\approx 284.44$

   Отрицательное значение $-x$ удовлетворяет возведённому в квадрат уравнению, но не исходному: правая часть стала бы отрицательной, тогда как левая остаётся положительной.

5. 5

   Проверяем обратной подстановкой. При $x\approx 284.44$ левая часть равна $\sqrt{x^2+10718.24}$, правая — $x/\cos 20^\circ$, и обе дают одно и то же число с точностью до семи значащих цифр, что подтверждает корень и исключает посторонний.