Найти y, если y = arcsin(√3/2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала напомним, что возвращает обратная функция синуса. $\sin^{-1}(a)$ — это единственный угол $y$, для которого

   $\sin y=a\qquad\text{и}\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$

   Именно ограничение области значений делает обратную функцию однозначной; иначе решений было бы бесконечно много.

2. 2

   Проверим, принадлежит ли аргумент области определения. Область определения $\sin^{-1}$ — это $[-1,1]$, а $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}8660$ входит в этот промежуток, значит, ответ существует.

3. 3

   Вспомним табличное значение. Из треугольника 30°–60°–90° (или по единичной окружности) известно:

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$

   Полезно запомнить три значения: $\sin\frac\pi6=\frac12$, $\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$ — числители возрастают, знаменатель одинаковый.

4. 4

   Проверим, входит ли найденный угол в главный промежуток. Так как $0<\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$, угол $\tfrac\pi3$ допустим, значит

   $y=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$

5. 5

   Отметим, какое решение специально исключается. $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ тоже равно $\dfrac{\sqrt3}{2}$, как и $\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)$ для любого целого $k$. Все они решают уравнение $\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$, но только $\tfrac\pi3$ является значением $\sin^{-1}$. Путаница между «решить $\sin y=a$» и «вычислить $\sin^{-1}a$» — типичная ошибка.