Верно или неверно: csc(7π/6) = −2.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем определение косеканса. Косеканс — это не обратная функция, а обратная величина:

   $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

   Поэтому весь вопрос сводится к точному вычислению $\sin\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)$.

2. 2

   Определяем четверть и опорный угол. Запишем угол как поворот, вышедший за $\pi$:

   $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

   Угол, чуть превышающий $\pi$ (то есть $180^{\circ}$), лежит в III четверти, а его опорный угол равен $\tfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}$.

3. 3

   Учитываем знак четверти. В III четверти обе координаты $x$ и $y$ точки единичной окружности отрицательны, поэтому синус там отрицателен. Поскольку $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12$, получаем

   $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

   Соответствующая точка единичной окружности — $\left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\, -\tfrac12\right)$, и её координата $y$ и есть синус.

4. 4

   Переходим к обратной величине.

   $\csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{-\tfrac12} = -2$

   Обратная величина сохраняет знак, поэтому отрицательному синусу отвечает отрицательный косеканс; а так как $\left|\sin\right| = \tfrac12 < 1$, модуль косеканса обязан быть больше $1$ — значение $2$ этому вполне соответствует.

5. 5

   Отвечаем на вопрос «верно или неверно». Утверждение в точности совпадает с вычисленным значением, значит оно верно. Численная проверка даёт $1/\sin(7\pi/6) = -2.000000000000001$: этот крошечный остаток — ошибка округления при вычислениях с плавающей точкой, а не настоящее расхождение.