У кругового сектора центральный угол 70° и радиус 12 ярдов. Найдите длину дуги s и площадь сектора A, округлив до тысячных.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала переводим угол в радианы. Формулы $s=r\theta$ и $A=\tfrac12 r^2\theta$ работают только при $\theta$ в радианах, так как они основаны на взятии доли $\theta/(2\pi)$ от полной окружности. Переведём градусы в радианы, умножив на $\pi/180$:

   $\theta=70^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{18}\ \text{рад}$

   Если использовать градусы напрямую, ответы были бы завышены примерно в $57$ раз.

2. 2

   Записываем формулы для сектора. Для центрального угла $\theta$ в радианах:

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Это доли $\theta/(2\pi)$ от полной длины окружности $2\pi r$ и полной площади круга $\pi r^2$.

3. 3

   Вычисляем длину дуги.

   $s=r\theta=12\left(\frac{7\pi}{18}\right)=\frac{14\pi}{3}\approx 14{,}661\ \text{ярд}$

4. 4

   Вычисляем площадь сектора. Сначала возводим радиус в квадрат, затем делим пополам:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(12)^2\left(\frac{7\pi}{18}\right)=72\left(\frac{7\pi}{18}\right)=28\pi\approx 87{,}965\ \text{ярд}^2$

5. 5

   Записываем оба ответа с округлением.

   $\boxed{s\approx 14{,}661\ \text{ярд},\qquad A\approx 87{,}965\ \text{ярд}^2}$

6. 6

   Проверяем по формуле A = ½rs. Исключая $\theta$ между двумя формулами, получаем $A=\tfrac12 rs$. В точном виде $\tfrac12(12)\left(\tfrac{14\pi}{3}\right)=28\pi$, что совпадает с найденной выше площадью. (Если взять округлённое $s=14{,}661$, получится $87{,}966$, разница только в последнем знаке из-за округления.)