Найдите точное значение sin 225°.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим четверть, в которой находится угол. Поскольку $180^\circ<225^\circ<270^\circ$, конечная сторона угла лежит в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны (только тангенс положителен), поэтому ответ должен быть со знаком минус.

2. 2

   Найдём приводимый угол. Для угла в III четверти приводимый угол отсчитывается до отрицательной оси $x$:

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

   Приводимый угол $45^\circ$ — это стандартный случай, поэтому значение будет одним из табличных, калькулятор не требуется.

3. 3

   Вспомним табличное значение. Из треугольника $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ с катетами $1,1$ и гипотенузой $\sqrt2$:

   $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

4. 4

   Учитываем знак по четверти. Модуль берётся из приводимого угла, а знак — из четверти:

   $\sin225^\circ=-\sin45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

5. 5

   Проверим по координатам на единичной окружности. Точка при $225^\circ$ — $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$, а синус — это $y$-координата, то есть отрицательное значение, как и получено. В числовом виде $-\tfrac{\sqrt2}{2}=-0.70711$, а при прямом вычислении $\sin(225^\circ)$ получается $-0.7071068$, что совпадает до семи знаков.

6. 6

   Заметим связанные значения. Для того же приводимого угла $\cos225^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$, а $\tan225^\circ=+1$ — два минуса в отношении дают плюс, поэтому тангенс положителен в III четверти.