Решите уравнение 2 sin(y) = sin(x) + sin(x + y) при x и y из промежутка [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем сумму в правой части в произведение. Тождество $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$ при $A=x+y$ и $B=x$ даёт

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

2. 2

   Перепишем левую часть по формуле двойного угла.

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   Теперь в обеих частях есть общий множитель $\cos\tfrac y2$ — именно он и служит структурным ключом ко всей задаче.

3. 3

   Раскладываем на множители, а не делим. Перенесём всё в одну часть:

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   Если вместо разложения на множители просто поделить обе части на $\cos\tfrac y2$, незаметно пропадут все решения с $\cos\tfrac y2=0$ — это самый распространённый способ ответить на задачу не полностью.

4. 4

   Ветвь 1: $\cos\tfrac y2=0$. На промежутке $[0,2\pi)$ это означает $\tfrac y2=\tfrac\pi2$, то есть

   $y=\pi\qquad\text{при любом }x\in[0,2\pi)$

   Проверим напрямую: $2\sin\pi=0$ и $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$. Это целая прямая решений, а не одна отдельная точка.

5. 5

   Ветвь 2: $\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$. Синус по модулю не превосходит $1$, поэтому эта ветвь требует

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   а для каждого допустимого $y$ подходящие значения $x$ таковы:

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{или}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

6. 6

   Соберём полное множество решений. Решения — это горизонтальная прямая $y=\pi$ вместе с двумя кривыми из ветви 2. Численные выборочные проверки подтверждают оба семейства: при $y=\pi$ и $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$ невязка не превосходит $4\times 10^{-16}$, а ветвь 2 при $y=0$ требует $\sin x=0$, что даёт $x=0$ и $x=\pi$ — оба значения удовлетворяют исходному уравнению точно.