С вершины холма угол понижения точки A на земле равен 30 градусам. Спустившись на три четверти прямого склона, наблюдатель видит точку A под углом понижения 15 градусов. Склон образует с горизонтом угол θ; найти tg θ.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём координаты и нормируем длину склона. Так как искомая величина — угол, важны только отношения, поэтому примем полную длину склона равной $L=1$. Тогда вершина $B$ находится на высоте

   $h=\sin\theta$

   над землёй, а спуск на расстояние $s$ вдоль склона понижает наблюдателя на $s\sin\theta$ и приближает его к $A$ по горизонтали на $s\cos\theta$.

2. 2

   По первому наблюдению найдём горизонтальное расстояние. Пусть $d$ — горизонтальное расстояние от $B$ до $A$. Угол понижения в точке $B$ равен $30^{\circ}$, поэтому

   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}=\frac{\sin\theta}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt3\,\sin\theta$

3. 3

   Запишем второе наблюдение. Спустившись на $\tfrac34$ склона, наблюдатель оказывается на высоте $\sin\theta-\tfrac34\sin\theta=\tfrac14\sin\theta$ и на горизонтальном расстоянии $d-\tfrac34\cos\theta$ от точки $A$. Отсюда

   $\tan 15^{\circ}=\frac{\tfrac14\sin\theta}{\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta}$

   Неизвестное $d$ исключено, и остаётся одно уравнение относительно $\theta$.

4. 4

   Выразим tg θ. Умножая крест-накрест и собирая слагаемые с $\sin\theta$:

   $\tan 15^{\circ}\left(\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta\right)=\tfrac14\sin\theta$

   $\sin\theta\left(\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14\right)=\tfrac34\tan 15^{\circ}\cos\theta$

   $\tan\theta=\frac{\tfrac34\tan 15^{\circ}}{\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14}$

5. 5

   Подставим точное значение tg 15°. Поскольку $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt3$,

   $\tan\theta=\frac{3(2-\sqrt3)}{4\sqrt3(2-\sqrt3)-1}=\frac{3(2-\sqrt3)}{8\sqrt3-12-1}=\frac{6-3\sqrt3}{8\sqrt3-13}$

6. 6

   Избавимся от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на $8\sqrt3+13$; знаменатель станет равен $(8\sqrt3)^{2}-13^{2}=192-169=23$, а числитель:

   $(6-3\sqrt3)(8\sqrt3+13)=48\sqrt3+78-72-39\sqrt3=9\sqrt3+6$

   $\boxed{\tan\theta=\frac{6+9\sqrt3}{23}\approx 0.9386}$

7. 7

   Проверим ответ на непротиворечивость. Численно $\theta=\arctan(0.9386)=43.19^{\circ}$. По условию точка $A$ должна лежать за подошвой склона, то есть $d=\sqrt3\sin\theta>\cos\theta$, что означает $\tan\theta>\tfrac{1}{\sqrt3}$, то есть $\theta>30^{\circ}$ — выполнено ✓. Подставим обратно: при $\theta=43.19^{\circ}$ имеем $d=\sqrt3(0.6845)=1.1854$, и второе наблюдение даёт $\arctan\!\left(\tfrac{0.1711}{1.1854-0.5468}\right)=\arctan(0.2679)=15.00^{\circ}$ ✓.