В треугольнике сторона 13 лежит против угла 32°, сторона 23 — против угла A, а сторона x — против третьего угла. Считая угол A острым, найдите A и длину x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сопоставим каждой стороне противолежащий ей угол. Теорема синусов связывает сторону именно с противолежащим углом:

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   Главная ошибка в таких задачах — соотнести сторону не с тем углом, поэтому каждый раз проверяем: угол должен быть противолежащим, а не прилежащим.

2. 2

   Из первой пары отношений найдём sin A.

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   То, что значение оказалось меньше $1$, само по себе информативно: если бы оно превысило $1$, такого треугольника попросту не существовало бы.

3. 3

   Возьмём арксинус — и разберёмся с неоднозначностью. Калькулятор выдаёт

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   но $\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$ даёт то же самое значение, так что арифметически возможен и тупоугольный треугольник. Это классический неоднозначный случай SSA (две стороны и угол, противолежащий одной из них). В условии сказано, что угол, кажущийся острым, можно считать острым, поэтому берём

   $A\approx 69.6^\circ.$

4. 4

   Найдём третий угол.

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

5. 5

   Ещё раз применим теорему синусов — теперь для x.

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

6. 6

   Проверим согласованность порядка сторон и углов. Наибольший угол — $C=78.4^\circ$, и наибольшая сторона — $x=24.03$; наименьший угол — $32^\circ$, наименьшая сторона — $13$. Стороны и углы упорядочены одинаково, как и должно быть. (Для полноты: отброшенная тупоугольная ветвь дала бы $A=110.4^\circ$ и $x=14.98$.)