Упростите arctan x плюс arctan 1/x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала уточним область определения. В выражении $\frac1x$ требуется $x\neq 0$, то есть выражение определено на $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ — это две отдельные области, что уже намекает: ответ может отличаться на каждом из промежутков.

2. 2

   Случай $x>0$: используем свойства дополнительных углов. Обозначим $\theta=\arctan x$, тогда $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ и $\tan\theta=x$. Тогда

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   и $\frac{\pi}{2}-\theta$ также принадлежит $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, что входит в главную область значений $\arctan$. Значит, $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$, и

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

3. 3

   Случай $x<0$: используем нечетность функции, а не повторяем выкладки. При $x<0$ и $\frac1x<0$ оба арктангенса отрицательны, их сумма не может быть $+\frac{\pi}{2}$. Применим предыдущий результат к $-x>0$ и используем $\arctan(-t)=-\arctan t$:

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   откуда сумма равна $-\frac{\pi}{2}$.

4. 4

   Поясним, почему одной формулы сложения тангенсов недостаточно. Пусть $A=\arctan x$, $B=\arctan\frac1x$,

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   что не определено. Это лишь указывает, что $A+B$ — нечётное кратное $\frac{\pi}{2}$; чтобы выяснить, какое именно, нужен анализ области значений выше.

5. 5

   Объединим оба случая в одну формулу.

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   Функция постоянна на каждом из лучей и скачкообразно меняется на $\pi$ при переходе через $x=0$ — это вовсе не тождественно $\frac{\pi}{2}$.

6. 6

   Проверим численно. При $x=2$: $\arctan 2=1{,}1071487$, $\arctan 0{,}5=0{,}4636476$, сумма $1{,}5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓. При $x=-2$ значения противоположны по знаку, сумма $-1{,}5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓.