Найдите точное значение arcsin(0,375), объясните, почему его нет, и запишите приближённо в радианах и градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной. $0.375 = \tfrac{3}{8}$, значит, требуется найти такой угол $\theta$, что

   $\sin\theta = \frac{3}{8}, \qquad \theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$

   Именно ограничение на промежуток делает $\arcsin$ функцией: из бесконечного множества углов с этим синусом ровно один лежит в данном интервале.

2. 2

   Проверим, является ли это табличным значением синуса. В школьной программе используются углы $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$ с синусами $0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$. Значение $\tfrac38 = 0.375$ не входит в этот список — оно находится между $0$ и $\tfrac12$, ближе к $\tfrac12$.

3. 3

   Делаем вывод о смысле «точного значения». Ни одно выражение через радикалы и рациональные числа не даст этот угол, поэтому точным значением считается сама запись:

   $\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right)$

   Это не недостаток метода — в том же смысле $\ln 2$ или $\sqrt2$ считаются точными ответами.

4. 4

   Вычислим приближённое значение. Используем разложение Маклорена: $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ при $u = 0.375$: $0.375 + 0.008789 + 0.000556 + 0.000047 + 0.000004 = 0.384396$, а дальнейшие члены дают

   $\arcsin(0.375) \approx 0.3843968\ \text{рад}$

5. 5

   Переведём в градусы и проверим. Умножая на $\tfrac{180}{\pi}$:

   $0.3843968 \times 57.295780 \approx 22.0243^{\circ}$

   Проверка: $\sin(22.0243^{\circ}) = 0.375000$, и $22.0243^{\circ}$ — это немного меньше $30^{\circ}$, где синус равен $0.5$.