Найдите точное значение arccos(0,33).

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, что требуется найти с помощью обратного косинуса. $\arccos(0.33)$ — это единственный угол $\theta$ из главного промежутка $[0,\pi]$ (то есть $[0^\circ,180^\circ]$), для которого $\cos\theta = 0.33.$ Ограничение на промежуток $[0,\pi]$ и обеспечивает единственность ответа, а не бесконечное множество решений.

2. 2

   Проверим, является ли $0.33$ табличным значением косинуса. В элементарной тригонометрии косинусы с простыми выражениями — это $0,\pm\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt2}{2},\pm\tfrac{\sqrt3}{2},\pm1$ (и некоторые значения с вложенными радикалами для кратных $3^\circ$). Поскольку $0.33$ не относится к этим значениям, ни одна комбинация радикалов и $\pi$ не даст этот угол в явном виде.

3. 3

   Делаем вывод: точное значение — сама запись через обратный косинус. Таким образом, честный точный ответ — $\theta=\arccos(0.33),$ то есть оставляем в виде обратной функции. Запись вроде $\tfrac{\pi}{2}-0.33$ здесь неверна: это работает для $\arcsin$, но не для произвольного десятичного значения.

4. 4

   Вычислим значение в радианах с помощью калькулятора. Подставляя в обратный косинус, получаем $\arccos(0.33)=1.234492751\ldots \approx 1.234493\ \text{рад}.$ Для проверки: $\arccos(0)=\tfrac{\pi}{2}\approx 1.5708$, $\arccos(0.5)=\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$, а $0.33$ лежит между $0$ и $0.5$, значит, угол тоже между $1.0472$ и $1.5708$ — так и есть.

5. 5

   Переведём результат в градусы. Умножаем на $180/\pi$: $1.234492751\times\frac{180}{\pi}=70.7312245\ldots\approx 70.7312^\circ.$ Проверка в обратную сторону: $\cos(70.7312^\circ)=0.330000$, что подтверждает вычисления.

6. 6

   Обратим внимание на округление. Типичная ошибка — округлить слишком рано: $70.51^\circ$ соответствует $\cos\theta=0.33364$, а не $0.33$, то есть если записать $70.51^\circ$, ошибка будет больше двух десятых градуса и сразу проявится при обратной проверке через косинус.