Вычислите arccos(√2/2) без калькулятора, ответ дайте в виде кратного π. Укажите, знак + или -.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем задачу в виде уравнения. Требуется найти $\cos^{-1}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$, то есть такой угол $\theta$, что

   $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad 0 \le \theta \le \pi$

   Именно это ограничение по диапазону делает арккосинус функцией с единственным значением.

2. 2

   Распознаем особое значение. $\tfrac{\sqrt2}{2}$ — это то же самое, что $\tfrac{1}{\sqrt2} \approx 0{,}7071$, и это косинус $45^{\circ}$. Такое значение встречается в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами $1$, $1$ и гипотенузой $\sqrt2$, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $1/\sqrt2$. Калькулятор не требуется.

3. 3

   Переведём $45^{\circ}$ в радианы. Умножим на $\pi/180$:

   $45^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

4. 4

   Определим знак. Значение должно лежать в $[0,\pi]$, а входное число $\tfrac{\sqrt2}{2}$ положительно, значит, угол находится в первом квадранте. Следовательно, ответ — $+\tfrac{\pi}{4}$. Заметим, что $-\tfrac{\pi}{4}$ также удовлетворяет $\cos\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$, но не попадает в главный диапазон, поэтому арккосинус его не возвращает.

5. 5

   Проверим. $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓, а $\tfrac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$ действительно лежит в $[0,\pi]$ ✓. Если бы на входе было $-\tfrac{\sqrt2}{2}$, ответом было бы $\tfrac{3\pi}{4}$ — тоже положительное значение, так как арккосинус никогда не бывает отрицательным.